Pembahasan Soal Mat Wajib

PEMBAHASAN SOAL MAT WAJIB

3. Jika $sin\theta =-\frac{1}{4}$ dan $\theta >0$, hitunglah $cos\theta =\cdots$

Dari soal kita peroleh bahwa $sin\theta$ bernilai negatif dan $tan\theta$ bernilai positif berarti $\theta$ berada di kwadran III.

Dari gambar:
$AB=\sqrt{4^2-(-1{)}^2}=\sqrt{15}$ dan $AB$ bernilai negatif, sehingga $AB=-\sqrt{15}$

$cos\theta =\frac{AB}{AC}=\frac{-\sqrt{15}}{4}=-\frac{1}{4}\sqrt{15}$

4. Nilai dari $\frac{tan{300}^{\circ }}{sin{120}^{\circ }-cos{210}^{\circ }}=...$

Nilai Perbandingan Trigonometri di atas dapat kita hitung dengan alternatif penyelesaian berikut;
$\begin{array}{cc}& \frac{tan{300}^{\circ }}{sin{120}^{\circ }-cos{210}^{\circ }}\\ & =\frac{tan(360-60{)}^{\circ }}{sin(180-60{)}^{\circ }-cos(180+30{)}^{\circ }}\\ & =\frac{-tan{60}^{\circ }}{sin{60}^{\circ }+cos{30}^{\circ }}\\ & =\frac{-\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{3}}\\ & =\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-1\end{array}$

5.

Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di $B$,
$cos\alpha =\frac{4}{5}dantan\beta =1.$
Jika $AD=x$ maka nilai $AC=...$

$cos\alpha =\frac{4}{5}=\frac{AB}{AC}$
dari persamaan diatas kita peroleh perbandingan panjang $AB$ dan panjang $AC$ sehingga panjang $AC$ dan panjang $AB$ dapat kita misalkan yaitu $AB=4a$ dan $AC=5a$.
$AD=x$ dan $AB=4a$ maka $BD=4a-x$.

Perhatikan:
$tan\beta =1=\frac{BC}{BD}$
dari persamaan diatas kita peroleh panjang $BC=BD$, maka $BC=BD=4a-x$

Dengan konsep teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{array}{cc}(4a{)}^2+(4a-x{)}^2& =(5a{)}^2\\ 16a^2+16a^2-8ax+x^2& =25a^2\\ 32a^2-25a^2-8ax+x^2& =0\\ 7a^2-8ax+x^2& =0\\ (x-a)(x-7a)& =0\end{array}$
Kita peroleh $x=a$ atau $x=7a$, pada saat $x=7a$ tidak memenuhi (*kenapa tidak memenuhi?, coba Anda menyimpulkan sendiri dan sampaikan melalui kotak komentar)

Hasil akhir diperoleh $x=a$, maka panjang $AC$ saat $AD=x$ adalah $5x$.

6. Jika $tan2\alpha =4sin\alpha cos\alpha$, untuk $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$, maka $cos\alpha =...$

$\begin{array}{cc}tan2\alpha & =4sin\alpha cos\alpha \\ \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }& =2\cdot 2sin\alpha cos\alpha \\ \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }& =2\cdot sin2\alpha \\ \frac{1}{cos2\alpha }& =2\\ \frac{1}{2}& =cos2\alpha \\ cos2\alpha & =2co{s}^2\alpha -1\\ \frac{1}{2}& =2co{s}^2\alpha -1\\ \frac{3}{2}& =2co{s}^2\alpha \\ \frac{3}{4}& =co{s}^2\alpha \\ \pm \sqrt{\frac{3}{4}}& =cos\alpha \\ \pm \frac{\sqrt{3}}{2}& =cos\alpha \end{array}$

Karena $\alpha$ berada pada kwadran II maka $cos\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $4cm$ dan titik $P$ adalah titik tengah $CH$. Hitunglah jarak titik $P$ ke titik $B$.

Kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $P$ kita gambarkan, [*seperti gambar]
Perhatikan segitiga $BCP$ adalah segitiga siku-siku di $C$, sehingga jarak titik $P$ ke $B$ adalah $BP$ dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras, yaitu:
$\begin{array}{cc}B{P}^2& =B{C}^2+C{P}^2\\ BC& =4\text{dan}CP=\frac{1}{2}CH=2\sqrt{2}\\ B{P}^2& =4^2+(2\sqrt{2}{)}^2\\ B{P}^2& =16+8\\ BP& =\sqrt{24}=2\sqrt{6}\end{array}$

8. Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $\sqrt{3}cm$ dan titik $T$ pada $AD$ sehingga $AT=1cm$. Jarak titik $A$ terhadap garis $BT$ adalah ...

Kubus $ABCD.EFGH$ dan titik $T$ kita gambarkan, [*seperti gambar]
Perhatikan segitiga $ABT$ adalah segitiga siku-siku di $A$, sehingga jarak titik $A$ ke garis $BT$ adalah tinggi segitiga dengan alas $BT$. $BT$ dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras, yaitu:
$\begin{array}{cc}B{T}^2& =A{T}^2+A{B}^2\\ & =1^2+(\sqrt{3}{)}^2\\ & =1+3\\ BT& =\sqrt{4}=2\end{array}$

Dengan Konsep luas segitiga kita peroleh:
$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}BT\cdot AJ& =\frac{1}{2}AB\cdot AT\\ 2\cdot AJ& =\sqrt{3}\cdot 1\\ AJ& =\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Jarak titik $A$ ke garis $BT$ adalah $AJ=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

9. Kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $\sqrt{5}$, diketahui $P$ dan $Q$ masing-masing adalah titik tengah $FG$ dan $BC$. $\theta$ adalah sudut antara bidang $ADP$ dan bidang $ADQ$. Hitunglah besar sudut $\theta$.

Kubus $ABCD.EFGH$, titik $P$ dan titik $Q$ kita gambarkan sehingga bidang $ADP$ dan $ADQ$ dapat kita ilustrasikan seperti gambar di atas. Kita peroleh dari gambar garis persekutuan adalah $AD$

Untuk menentukan sudut antara bidang $ADP$ dengan $ADQ$ yaitu dengan menggambar garis pada bidang $ADP$ dan $ADQ$ yang tegak lurus dengan $AD$, pada gambar diberi nama garis $PR$ dan $QR$.

Sudut antara bidang $ADP$ dengan $ADQ$ adalah $sudut$ yang dibentuk oleh garis $PR$ dan $QR$ yaitu sudut $PRQ$ sehingga $\angle PRQ=\theta$.
Dengan memperhatikan segitiga $PQR$ kita peroleh beberapa data:

• segitiga siku-siku di $Q$
• $PQ=QR$

Berdasarkan data di atas, segitiga $PQR$ adalah segitiga siku-siku sama kaki sehingga $\angle PRQ=\angle QPR=\theta$
$\begin{array}{cc}\angle PRQ+\angle QPR+\angle PQR& ={180}^{\circ }\\ \theta +\theta +{90}^{\circ }& ={180}^{\circ }\\ 2\theta & ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }\\ 2\theta & ={90}^{\circ }\\ \theta & ={45}^{\circ }\end{array}$

10. Masih kubus $ABCD.EFGH$ tetapi kali ini panjang rusuknya terserah Anda berapa panjangnya. Jika sudut antara bidang $EBG$ dengan bidang $EDG$ adalah $\beta$ maka $cos2\beta =...$

Kubus $ABCD.EFGH$, bidang $EBG$ dan bidang $EDG$ kita gambarkan, [*seperti gambar]. Kita peroleh dari gambar garis persekutuan adalah $EG$

Untuk menentukan sudut antara bidang $EBG$ dengan $EDG$ yaitu dengan menggambar garis pada bidang $EBG$ dan $EDG$ yang tegak lurus dengan $EG$, pada gambar diberi nama garis $DP$ dan $BP$.

Sudut antara bidang $EBG$ dengan $EDG$ adalah sudut yang dibentuk oleh garis $DP$ dan $BP$ yaitu sudut $BPD$ sehingga $\angle BPD=\beta$.
Dengan memperhatikan segitiga $BPD$ kita peroleh $BP=DP$, dan $BP$ dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras dari segitiga $BFP$, yaitu:$B{P}^2=P{F}^2+B{F}^2$
Karena panjang rusuk kubus tidak diketahui, kita misalkan panjang rusuk kubus $2a$, sehingga:
$BF=2a$ dan $PF=a\sqrt{2}$
Dengan konsep teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{array}{cc}B{P}^2& =(a\sqrt{2}{)}^2+(2a{)}^2\\ B{P}^2& =2a^2+4a^2\\ BP& =\sqrt{6a^2}\\ BP& =a\sqrt{6}\end{array}$

$BD=2a\sqrt{2},BP=DP=a\sqrt{6}$

Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga $BDP$ diperoleh:
$\begin{array}{cc}B{D}^2& =B{P}^2+D{P}^2-2\cdot BP\cdot DP\cdot cos\beta \\ (2a\sqrt{2}{)}^2& =(a\sqrt{6}{)}^2+(a\sqrt{6}{)}^2-2\cdot a\sqrt{6}\cdot a\sqrt{6}\cdot cos\beta \\ 8a^2& =6a^2+6a^2-2\cdot 6a^2\cdot cos\beta \\ 4a^2& =12a^2-12a^2\cdot cos\beta \\ 12a^2\cdot cos\beta & =12a^2-8a^2\\ 12a^2\cdot cos\beta & =4a^2\\ cos\beta & =\frac{1}{3}\\ cos2\beta & =2co{s}^2\beta -1\\ cos2\beta & =2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-1\\ cos2\beta & =2\left(\frac{1}{9}\right)-1\\ cos2\beta & =\frac{2}{9}-1\\ cos2\beta & =-\frac{7}{9}\end{array}$