1. Metode Subtitusi

BAB 2

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

Ciri Ciri Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sebuah persamaan disebut sebagai sistem persamaan linear tiga variabel jika persamaan tersebut mempunyai karakteristik seperti berikut ini:

• Memakai relasi tanda sama dengan (=)
• Mempunyai tiga variabel
• Ketiga variabel tersebut mempunyai derajat satu (berpangkat satu)

Hal Hal yang Berhubungan dengan SPLTV

Memuat tiga komponen atau unsur yang selalu berhubungan dengan sistem persamaan linear tiga variabel.

Ketiga komponen tersebut yaitu: suku, variabel, koefisien dan konstanta. Berikut ini merupakan penjelasan dari masing-masing komponen SPLTV tersebut.

1.  Suku

Suku merupakan sebuah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri atas variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan menggunakan tanda baca penjumlahan maupun pengurangan.

Contoh:

6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut yaitu 6x , -y, 4z dan 7.

2. Variabel

Variabel merupakan peubah atau pengganti dari suatu bilangan yang pada umumnya dilambangkan dengan pemakaian huruf seperti x, y dan z.

Contoh:

Yulisa mempunyai 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Apabila kita tulis dalam bentuk persamaan maka:

Contoh: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu 2x + 5y + 6z.

3. Koefisien

Koefisien merupakan sebuah bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis.

Koefisien disebut juga sebagai bilangan yang terdapat di depan variabel, sebab penulisan dari suatu persamaan koefisien berada di depan variabel.

Contoh:

Gilang mempunyai 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Apabila kita tuliskan ke dalam bentuk persamaan maka:

Contoh: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya yaitu 2x + 5y + 6z.

Dari persamaan tersebut, maka dapat diketahui bahwa 2, 5 dan 6 merupakan koefisien di mana 2 merupakan koefisien x , 5 merupakan koefisien y serta 6 merupakan koefisien z.

4.  Konstanta

Konstanta merupakan sebuah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga akan mempunyai nilai yang tetap atau konstan untuk berapa pun nilai variabel atau peubahnya.

Contoh:

2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstantanya yaitu 7. Sebab, 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapa pun variabelnya.

Syarat SPLDV Memiliki Satu Penyelesaian

Sebuah sistem persamaan linier 3 variabel akan tepat mempunyai suatu penyelesaian atau satu himpunan penyelesaian apabila dapat memenuhi syarat atau ketentuan seperti di bawah ini:

Terdapat lebih dari satu atau ada tiga persamaan linier tiga variabel yang sejenis.

Contoh:

• x + y + z = 5
• x + 2y + 3z = 6
• 2x + 4y + 5z = 9

Persamaan Linier Tiga Variabel yang membentuk Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel, bukan merupakan Persamaan Linier Tiga Variabel yang sama.

Contoh:

• 2x − 3y + z = −5
• 2x + z − 3y + 5 = 0
• 4x – 6y + 2z = −10

Ketiga persamaan di atas adalah sistem persamaan linear tiga variabel yang sama sehingga tidak mempunyai tepat satu himpunan penyelesaian.

Cara Penyelesaian SPLDV

Bentuk umum dari sistem persamaan linear tiga variabel bisa kita tuliskan seperti di bawah ini:

Apabila nilai x = x0, y = y0, dan z = z0, ditulis dengan pasangan terurut (x0, y0, z0), memenuhi SPLTV di atas, maka haruslah berlaku hubungan sebagai berikut.

Dalam hal yang seperti itu, (x0, y0, z0) disebut sebagai penyelesaian sistem persamaan linear tersebut serta himpunan penyelesaiannya ditulis sebagai {(x0, y0, z0)}.

Sebagai contoh, adanya SPLTV seperti di bawah ini:

• 2x + y + z = 12
• x + 2y – z = 3
• 3x – y + z = 11

SPLTV di atas memiliki penyelesaian (3, 2, 4) dengan himpunan penyelesaiannya yaitu {(2, 3, 4)}.

Untuk membuktikan kebenaran bahwa (3, 2, 4) adalah penyelesaian dari SPLTV tersebut, maka subtitusikanlah nilai dari x = 3, y = 2 dan z = 4 ke dalam persamaan 2x + y + z = 12, x + 2y– z = 3 dan 3x – y + z = 11, sehingga akan kita dapatkan:

⇔ 2(3) + 2 + 4 = 6 + 2 + 4 = 12, benar

⇔ 3 + 2(2) – 4 = 3 + 4 – 4 = 3, benar

⇔ 3(3) – 2 + 4 = 9 – 2 + 4 = 11, benar

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sebuah sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) bisa di cari dengan menggunakan beberapa cara atau metode, antara lain dengan menggunakan:

• Metode subtitusi
• Metode eliminasi
• Metode gabungan atau campuran
• Metode determinan
• Metode invers matriks

Berikut akan kami berikan ulasan dari metode subtitusi, eliminasi dan gabungan pada sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)

1. Metode Subtitusi

Berikut ini merupakan tahapan yang digunakan untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode subtitusi, antara lain:

Tahap 1:

Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, lalu nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

Tahap 2:

Subtitusikan x atau y atau z yang kita dapatkan di tahap pertama ke dalam dua persamaan yang lainnya. Sehingga akan kita peroleh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

Tahap 3:

Menyelesaikan SPLDV yang ada pada tahap nomor dua.

Agar kalian lebih paham mengenai cara penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode subtitusi, berikut kami berikan beberapa contoh soal dan pembahasannya.

Soal 1.

Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV di bawah ini dengan menggunakan metode subtitusi:

x – 2y + z = 6

3x + y – 2z = 4

7x – 6y – z = 10

Jawab:

Langkan pertama adalah menentukan terlebih dahulu persamaan yang paling sederhana.

Dari ketiga persamaan tersebut, persamaan pertama adalah yang paling sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z seperti berikut ini:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x = 2y – z + 6

Subtitusikan variabel atau peubah x ke dalam persamaan kedua

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4

⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4

⇒ 7y – 5z + 18 = 4

⇒ 7y – 5z = 4 – 18

⇒ 7y – 5z = –14 …………… Pers. (1)

Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10

⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10

⇒ 8y – 8z + 42 = 10

⇒ 8y – 8z = 10 – 42

⇒ 8y – 8z = –32

⇒ y – z = –4 ……………… Pers. (2)

Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV y serta z:

7y – 5z = –14

y – z = –4

Kemudian menyelesaikan SPLDV di atas dengan menggunakan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana. Pada hal ini persamaan kedua merupakan persamaan yang paling sederhana.

Dari persamaan kedua, maka kita dapatkan:

⇒ y – z = –4

⇒ y = z – 4

Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan pertama

⇒ 7y – 5z = –14

⇒ 7(z – 4) – 5z = –14

⇒ 7z – 28 – 5z = –14

⇒ 2z = –14 + 28

⇒ 2z = 14

⇒ z = 14/2

⇒ z = 7

Subtitusikan nilai z = 7 ke salah satu SPLDV, sebagai contoh y – z = –4 sehingga akan kita dapatkan:

⇒ y – z = –4

⇒ y – 7 = –4

⇒ y = –4 + 7

⇒ y = 3

Lalu, subtitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke salah satu SPLTV, sebagai contoh x – 2y + z = 6 sehingga akan kita dapatkan:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x – 2(3) + 7 = 6

⇒ x – 6 + 7 = 6

⇒ x + 1 = 6

⇒ x = 6 – 1

⇒ x = 5

Dengan begitu, kita dapatkan x = 5, y = 3 dan z = 7. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV soal tersebut yaitu {(5, 3, 7)}.

Supaya memastikan bahwa nilai x, y, dan z yang didapatkan sudah benar, maka kita bisa mengetahuinya dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam tiga SPLTV di atas. Antara lain:

Persamaan I:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6

⇒ 5 – 6 + 7 = 6

⇒ 6 = 6 (benar)

Persamaan II:

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4

⇒ 15 + 3 – 14 = 4

⇒ 4 = 4 (benar)

Persamaan III:

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10

⇒ 35 – 18 – 7 = 10

⇒ 10 = 10 (benar)

Dari data di atas, maka dapat dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang kita dapatkan telah benar serta telah memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.

2. Metode Eliminasi

Berikut ini merupakan tahapan yang digunakan untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode eliminasi, antara lain:

Tahap 1:

Pilih bentuk peubah atau variabel yang paling sederhana.

Tahap 2:

Hilangkan atau eliminasi salah satu peubah (contohnya x) sehingga akan kita dapatkan SPLDV.

Tahap 3:

Hilangkan atau eliminasi salah satu peubah SPLDV (contohnya y) sehingga akan kita dapatkan salah satu peubah.

Tahap 4:

Eliminasi atau hilangkan peubah lainnya (yakni z) untuk mendapatkan nilai peubah yang kedua.

Tahap 5:

Menentukan nilai peubah ketiga (yakni x) berdasarkan nilai (y dan z) yang didapatkan.

Agar kalian lebih paham mengenai cara penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi, berikut kami berikan beberapa contoh soal dan pembahasannya.

Soal 1.

Dengan memakai metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini:

x + 3y + 2z = 16

2x + 4y – 2z = 12

x + y + 4z = 20

Jawab:

Langkah awal yang kita lakukan adalah menentukan variabel mana yang akan dieliminasi terlebih dulu.

Untuk mempermudah, kita pilih variabel yang paling sederhana.

Dari ketiga SPLTV di atas, kita ketahui variabel yang paling sederhana yaitu x sehingga kita akan mengeliminasi x terlebih dulu.

Untuk mengeliminasi variabel x, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing x dari ketiga persamaan. Perhatikan ulasan di bawah ini;

x + 3y + 2z = 16 → koefisien x = 1

2x + 4y – 2z = 12 → koefisien x = 2

x + y + 4z = 20 → koefisien x = 1

Supaya ketiga koefisien x sama, maka akan kita kalikan persamaan pertama dan persamaan III dengan 2 sementara persamaan II kita kalikan 1. Berikut caranya:

  x + 3y + 2z = 16 |x2| → 2x + 6y + 4z = 32

2x + 4y – 2z = 12 |x1| → 2x + 4y – 2z = 12

  x +   y + 4z = 20 |x2| → 2x + 2y + 8z = 40

Sesudah koefisien x ketiga persamaan telah sama, selanjutnya langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa sampai variabel x hilang. Berikut caranya:

Dari persamaan pertama dan kedua:

2x + 6y + 4z = 32

2x + 4y – 2z = 12
__________ –2y + 6z          = 20

Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x + 4y – 2z = 12

2x + 2y + 8z = 40
__________ –

2y – 10z        = -28

Dengan begitu, maka kita dapatkan SPLDV seperti berikut ini:

2y + 6z = 20

2y – 10z = –28

Langkah berikutnya yaitu menyelesaikan SPLDV di atas dengan menggunakan metode eliminasi.

Lagkah pertama adalah menentukan nilai y dengan mengeliminasi z.

Untuk bisa mengeliminasi variabel z, maka kita harus menyamakan koefisien dari z kedua persamaan tersebut. Perhatikan ulasan di bawah ini.

2y + 6z = 20 → koefisien z = 6

2y – 10z = –28 → koefisien z = –10

Supaya kedua koefisien z sama, maka persamaan pertama akan kita kalian dengan 5 sementara untuk persamaan kedua kita kali dengan 3.

Selepas itu, kedua persamaan tersebut kita jumlahkan. Berikut caranya:

2y + 6z = 20 |×5| →    10y + 30z = 100

2y – 10z = -28 |×3| →  6y – 30z = -84
___________ +
16y           = 16
y            = 1

Kedua, kita mencari nilai z dengan cara mengeliminasi y. Untuk bisa menghilangkan variabel y, maka kita harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan tersebut.

Berhubung koefisien y kedua persamaan telah sama, maka kita dapat langsung mengurangkan kedua persamaan tersebut. Berikut caranya:

2y +  6z = 20

2y – 10z = -28
__________ _
16z           = 48
z           =   3

Hingga di tahap ini maka kita telah mendapatkan nilai y = 1 dan z = 3.

Langkah yang terakhir, untuk memperoleh nilai x, kita subtitusikan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV. Sebagai contoh persamaan x + y + 4z = 20 sehingga akan kita dapatkan:

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x + 1 + 4(3) = 20

⇒ x + 1 + 12 = 20

⇒ x + 13 = 20

⇒ x = 20 – 13

⇒ x = 7

Dengan begitu, akan kita dapatkan nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas yaitu {(7, 1, 3)}.

3. Metode Gabungan atau Campuran

Penyelesaian untuk sistem persamaan linear dengan memakai metode gabungan atau campuran adalah cara penyelesaian dengan cara menggabungkan dua metode sekaligus.

Metode yang dimaksud adalah metode eliminasi dan metode subtitusi.

Metode ini dapat digunakan dengan menggunakan metode subtitusi terlebih dahulu atau dengan eliminasi terlebih dahulu.

Dan kali ini, kita akan mencoba metode gabungan atau campuran dengan 2 teknik yakni:

• Mengeliminasi terlebih dahulu baru selanjutnya memakai metode subtitusi.
• Mensubtitusi terlebih dahulu baru lalu memakai metode eliminasi.

Prosesnya hampir sama seperti yang terdapat pada penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi dan metode subtitusi. 

Agar kalian lebih paham mengenai cara penyelesaian SPLTV dengan menggunakan gabungan atau campuran ini, berikut kami berikan beberapa contoh soal dan pembahasannya.

Soal 1.

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan memakai metode gabungan.

x + 3y + 2z = 16

2x + 4y – 2z = 12

x + y + 4z = 20

Jawab:

• Metode Subtitusi (SPLTV)

Langkah pertama menentukan persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan di atas, dapat kita ketahui bahwa persamaan ketiga merupakan persamaan yang paling sederhana.

Dari persamaan ketiga, nyatakan variabel z sebagai fungsi y dan z seperti berikut ini:

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x = 20 – y – 4z ………… Pers. (1)

Lalu, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV yang pertama.

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16

⇒ 2y – 2z + 20 = 16

⇒ 2y – 2z = 16 – 20

⇒ 2y – 2z = –4

⇒ y – z = –2 …………. Pers. (2)

Kemudian, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV yang kedua.

⇒ 2x + 4y – 2z = 12

⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12

⇒ 40 – 2y – 8z + 4y – 2z = 12

⇒ 2y – 10z + 40 = 12

⇒ 2y – 10z = 12 – 40

⇒ 2y – 10z = –28  ………… Pers. (3)

Dari persamaan (2) serta persamaan (3) kita dapatkan SPLDV y dan z seperti berikut ini:

y – z = –2

2y – 10z = –28 

• Metode Eliminasi (SPLDV)

Untuk mengeliminasi atau menghilangkan y, maka kalikan SPLDV yang pertama dengan 2 supaya koefisien y kedua persamaan sama.

Berikutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga akan kita dapatkan nilai z seperti berikut ini:

y – z = -2 |×2| →           2y – 2z = -4

2y – 10z = -28 |×1| → 2y – 10z = -28
__________ –
8z = 24
z =  3

Untuk menghilangkan z, maka kalikan SPLDV yang pertama dengan 10 supaya koefisien z pada kedua persamaan sama.

Kemudian kita kurangkan kedua persamaan sehingga akan kita dapatkan nilai y seperti berikut ini:

y – z = -2 |×10| →           10y – 10z = -20

2y – 10z = -28 |×1| →     2y – 10z = -28
__________ –
8y = 8
z =  1

Hingga tahap ini, kita dapatkan nilai y = 1 dan z = 3.

Langkah yang terakhir yakni menentukan nilai x. Cara untuk menentukan nilai x yaitu dengan cara memasukkan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV. Sebagai contoh x + 3y + 2z = 16 sehingga akan kita dapatkan:

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16

⇒ x + 3 + 6 = 16

⇒ x + 9 = 16

⇒ x = 16 – 9

⇒ x = 7

Dengan begitu, maka kita dapatkan nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV dari soal di atas yaitu {(7, 1, 3)}.