BAB 5
SKALAR DAN VEKTOR SERTA OPERASI ALJABAR VEKTOR
![Ayat-Ayat Al-Quran Tentang Ilmu Matematika – Matematika](https://math.uin-suska.ac.id/wp-content/uploads/2017/09/matematika-595x330.jpg)
Pengertian Vektor
Vektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut besar vektor. Dalam penulisannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis/ panah seperti
atau
atau juga:
Misalkan vektor
merupakan vektor yang berawal dari titik
menuju titik
dapat digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu x adalah
dan panjang garis sejajar sumbu y adalah
merupakan komponen-komponen vektor
.
![pengertian vektor](https://i1.wp.com/www.studiobelajar.com/wp-content/uploads/2018/05/pengertian-vektor.png?resize=310%2C226&ssl=1)
Komponen vektor
dapat ditulis untuk menyatakan vektor secara aljabar yaitu:
Jenis-jenis Vektor
Ada beberapa jenis vektor khusus yaitu:
- Vektor Posisi
Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A - Vektor Nol
Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan. Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.
- Vektor satuan
Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dariadalah:
- Vektor basis
Vektor basis merupakan vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensimemiliki dua vektor basis yaitu
dan
. Sedangkan dalam tiga dimensi
memiliki tiga vektor basis yaitu
,
, dan
.
Vektor di R^2
Panjang segmen garis yang menyatakan vektor
atau dinotasikan sebagai
Panjang vektor sebagai:
![vektor di R2](https://i0.wp.com/www.studiobelajar.com/wp-content/uploads/2018/05/vektor-di-R2.png?resize=328%2C158&ssl=1)
Panjang vektor tersebut dapat dikaitkan dengan sudut
yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x. positif.
![panjang dan rumus vektor](https://i2.wp.com/www.studiobelajar.com/wp-content/uploads/2018/05/panjang-dan-rumus-vektor.png?resize=438%2C172&ssl=1)
Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis
dan
berikut:
![panjang vektor di r2](https://i1.wp.com/www.studiobelajar.com/wp-content/uploads/2018/05/panjang-vektor-di-r2.png?resize=369%2C163&ssl=1)
Operasi Vektor di R^2
Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2
Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika
dan
maka:
Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:
![penjumlahan dan pengurangan vektor](https://i0.wp.com/www.studiobelajar.com/wp-content/uploads/2018/05/penjumlahan-dan-pengurangan-vektor.png?resize=179%2C115&ssl=1)
Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:
Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:
Perkalian vektor di R^2 dengan skalar
Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika
adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
Dengan ketentuan:
- Jika k > 0, maka vektor
searah dengan vektor
- Jika k < 0, maka vektor
berlawanan arah dengan vektor
- Jika k = 0, maka vektor
adalah vektor identitas
Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:
![perkalian vektor dengan skalar](https://i2.wp.com/www.studiobelajar.com/wp-content/uploads/2018/05/perkalian-vektor-dengan-skalar.png?resize=624%2C228&ssl=1)
Secara aljabar perkalian vektor
dengan skalar k dapat dirumuskan:
Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2
Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:
Perkalaian skalar vektor
dan
dilakukan dengan mengalikan panjang vektor
dan panjang vektor
dengan cosinus
. Sudut
yang merupakan sudut antara vektor
dan vektor
.
Sehingga:
Dimana:
![perkalian skalar dua vektor](https://i0.wp.com/www.studiobelajar.com/wp-content/uploads/2018/05/perkalian-skalar-dua-vektor.png?resize=176%2C118&ssl=1)
Perhatikan bahwa:
- Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
Vektor di R^3
Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam
dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik
dan titik
maka jarak AB adalah:
Atau jika
, maka
Vektor
dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom
atau dalam baris
. Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis
dan
dan
berikut:
![vektor di R3](https://i1.wp.com/www.studiobelajar.com/wp-content/uploads/2018/05/vektor-di-R3.png?resize=173%2C158&ssl=1)
Operasi Vektor di R^3
Operasi vektor di
secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di
dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.
Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3
Penjumlahan dan pengurangan vektor di
sama dengan vektor di
yaitu:
Dan
Perkalian vektor di R^3 dengan skalar
Jika
adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
Hasil kali skalar dua vektor
Selain rumus di
, ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika
dan
maka
adalah:
Proyeksi Orthogonal vektor
Jika vektor
diproyeksikan ke vektor
dan diberi nama
seperti gambar dibawah:
![proyeksi orthogonal vektor](https://i2.wp.com/www.studiobelajar.com/wp-content/uploads/2018/05/proyeksi-orthogonal-vektor.png?resize=251%2C137&ssl=1)
Diketahui:
Sehingga:
Untuk mendapat vektornya:
Contoh Soal Vektor dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.
Pembahasan 1:
Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor
dan vektor
bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan
Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:
sehingga:
Maka kelipatan m dalam persamaan:
Diperoleh:
disimpulkan:
p+q=10+14=24
Contoh Soal 2
Jika diketahui vektor pada titik A dan titik B dan vektor pada titik C yang berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukan persamaan vektor C.
![contoh soal vektor dan pembahasannya](https://i0.wp.com/www.studiobelajar.com/wp-content/uploads/2018/05/contoh-soal-vektor-dan-pembahasannya.png?resize=219%2C200&ssl=1)
Pembahasan 2:
Dari gambar dapat diketahui bahwa:
sehingga
Sehingga:
Contoh Soal 3
Misalkan vektor
dan vektor
. Jika panjang proyeksi vektor a ̅
pada
adalah 4. Maka tentukan nilai y.
Pembahasan 3:
Diketahui:
Maka:
12=8+2y
y=2
Tidak ada komentar:
Posting Komentar