Bab 5 Mat Minat

BAB 5

SKALAR DAN VEKTOR SERTA OPERASI ALJABAR VEKTOR

Pengertian Vektor

Vektor merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut besar vektor. Dalam penulisannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis/ panah seperti  atau  atau juga:

Misalkan vektor  merupakan vektor yang berawal dari titik  menuju titik  dapat digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu x adalah  dan panjang garis sejajar sumbu y adalah  merupakan komponen-komponen vektor .

Komponen vektor  dapat ditulis untuk menyatakan vektor secara aljabar yaitu:

 atau 

Jenis-jenis Vektor

Ada beberapa jenis vektor khusus yaitu:

• Vektor Posisi
  Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A 
• Vektor Nol
  Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan . Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.
• Vektor satuan
  Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari  adalah:
  
• Vektor basis
  Vektor basis merupakan vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi  memiliki dua vektor basis yaitu dan . Sedangkan dalam tiga dimensi  memiliki tiga vektor basis yaitu , , dan .

Vektor di R^2

Panjang segmen garis yang menyatakan vektor  atau dinotasikan sebagai  Panjang vektor sebagai:

Panjang vektor tersebut dapat dikaitkan dengan sudut  yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x. positif.

Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis  dan  berikut:

Operasi Vektor di R^2

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika  dan  maka:

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:

Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:

Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:

• 
• 

Perkalian vektor di R^2 dengan skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika  adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

Dengan ketentuan:

• Jika k > 0, maka vektor  searah dengan vektor 
• Jika k < 0, maka vektor  berlawanan arah dengan vektor 
• Jika k = 0, maka vektor  adalah vektor identitas 

Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:

Secara aljabar perkalian vektor  dengan skalar k dapat dirumuskan:

Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2

Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:

 (dibaca : a dot b)

Perkalaian skalar vektor  dan  dilakukan dengan mengalikan panjang vektor  dan panjang vektor  dengan cosinus . Sudut  yang merupakan sudut antara vektor dan vektor .

Sehingga:

Dimana:

Perhatikan bahwa:

• Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
• 
• 

Vektor di R^3

Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam  dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik  dan titik  maka jarak AB adalah:

Atau jika , maka

Vektor  dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom  atau dalam baris . Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis  dan  dan  berikut:

Operasi Vektor di R^3

Operasi vektor di  secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di  dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3

Penjumlahan dan pengurangan vektor di  sama dengan vektor di  yaitu:

Dan

Perkalian vektor di R^3 dengan skalar

Jika  adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

Hasil kali skalar dua vektor

Selain rumus di , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika  dan  maka  adalah:

Proyeksi Orthogonal vektor

Jika vektor  diproyeksikan ke vektor  dan diberi nama  seperti gambar dibawah:

Diketahui:

Sehingga:

 atau 

Untuk mendapat vektornya:

Contoh Soal Vektor dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.

Pembahasan 1:

Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor  dan vektor  bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan

• 

Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:

• 

sehingga:

Maka kelipatan m dalam persamaan:

Diperoleh:

• 
  
• 
  

disimpulkan:

p+q=10+14=24

Contoh Soal 2

Jika diketahui vektor pada titik A dan titik B dan vektor pada titik C yang berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukan persamaan vektor C.

Pembahasan 2:

Dari gambar dapat diketahui bahwa:

•  sehingga 
• 

Sehingga:

Contoh Soal 3

Misalkan vektor  dan vektor . Jika panjang proyeksi vektor a ̅ pada  adalah 4. Maka tentukan nilai y.

Pembahasan 3:

Diketahui:

• 
• 

Maka:

12=8+2y

y=2