Bab 4 Mat Wajib

BAB 4

FUNGSI LINEAR PERSAMAAN GARIS

Fungsi Linear

Pengertian fungsi sendiri merupakan hubungan matematis antara sebuah variabel dengan variabel lainnya. Beberapa unsur pembentuk fungsi antara lain variabel, koefisien, dan konstanta.

Variabel merupakan sebuah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu kondisi ke kondisi lainnya.

Variabel bisa dibedakan menjadi dua, yaitu variabel bebas dan variabel terikat.

Variabel bebas merupakan variabel yang menjelaskan variabel lainnya. Sementara Variabel terikat merupakan variabel yang diterangkan oleh variabel bebas.

Koefisien merupakan bilangan atau angka yang berada tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan.

Konstanta bersifat tetap serta tidak terkait dengan suatu variabel apa pun.

Fungsi linier sendiri memiliki bentuk umum sebagai berikut:

f : x → mx + c atau

f(x) = mx + c atau

y = mx + c

m merupakan gradien atau kemiringan atau kecondongan dan c merupakan konstanta

Fungsi linear merupakan seuah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a, b ∈ R  dan a ≠ 0) untuk seluruh x dalam daerah asalnya.

Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom (sukubanyak) berderajat satu dalam variable x.

Melukis Grafik Fungsi Linier

Berikut ini adalah beberapa langkah untuk melukis grafik fungsi linier, antara lain:

• Menentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 didapatkan koordinat A( x1, 0)
• Menentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 didapatkan koordinat B( 0, y1)
• Menghubungkan dua titik A dan B sehingga akan terbentuk garis lurus Persamaan linier yang bisa juga ditulis ditulis dengan menggunakan simbol y = ax + b. (Hal ini untuk memudahkan kita dalam memahami gambar). Apabila b bernilai positif maka fungsi linier akan dilukis garis dari kiri bawah ke kanan atas
• Apabila b bernilai negatif maka fungsi linier akan digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawah.
• Apabila b bernilai nol maka fungsi linier akan digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar x.

Jika b bernilai negatif, disini kita contohkan dengan Y = 10 – 2X maka kurva akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah, berikut gambarnya:

Jika b bernilai positif : Y = 2 + 2X maka kurva akan bergerak dari arah kiri bawah ke kanan atas, beirkut ini adalah gambarnya:

Gradien dan Persamaan Garis Lurus Fungsi linear

a. Garis lurus yang melewati titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) mempunyai gradien m:

m = y1-y2 atau m = y2-y1

x1-x2 x2-x1

b. Persamaan garis lurus yang melewati titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) yaitu:

y-y1 = x-x1

y2-y1 x2-x1

c. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m serta melewati titik A(x1, y1) yaitu:

y = m (x – x1 ) + y1

Menentukan Gradien dari Persamaan Garis Lurus (pgl)

Berikut adalah cara untuk menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl)

• Persamaan garis lurus: ax + by = c, sehingga gradiennya m = – a/b
• Persamaan garis lurus: y = ax + b, sehingga m = a
• Garis yang sejajar sumbu x mempunyai persamaan y = c dan juga m = 0
• Garis yang sejajar sumbu y mempunyai persamaan x = c serta tidak mempunyai gradient

Titik potong dua buah garis

Menentukan titik potong dari dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikan permasalah dari sistem persamaan linier dua variabel. Baik itu dengan menggunakan metode eleminiasi, metode substitusi ataupun metode grafik.

Hubungan dua buah garis

Dua garis yang bergradien m1 dan m2 akan disebut sejajar apabila m1 = m2 dan tegak lurus apabila m1 x m2 = -1.

Berimpit

Dua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yang lain. Dengan demikian , garis  akan berimpit dengan garis , apabila 

Sejajar

Dua garis lurus akan sejajar jika lereng atau gradien garis yang satu sama dengan lereng atau gradien dari garis yang lain.

Dengan begitu, garis akan sejajar dengan garis , apabila .

Berpotongan

Dua garis lurus akan berpotongan jika lereng atau gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng atau gradien dari garis yang lain. Dengan begitu, garis  akan berpotongan dengan garis , apabila .

Tegak lurus

Dua garis lurus akan saling tegak lurus jika lereng atau gradien garis yang satu adalah kebalikan dari lereng atau gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan begitu, garis  akan tegak lurus dengan garis , apabila atau .

Persamaan Kuadrat Fungsi linear

Persamaan kuadrat adalah bentuk persamaan di mana pangkat terbesar variabelnya yaitu 2.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat ialah sebagai berikut: y = ax2 + bx + c = 0 dengan  a ≠ 0, a, b, dan c merupakan koefisien. Serta x adalah variabelnya.

Sebagai contoh: x2 + 5x + 6, 2x2 – 3x + 4, dan lain sebagainya.

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat dalam hal ini maksudnya yaitu nilai x yang membuat ax2 + bx + c hasilnya akan sama dengan 0.

Sebagai contohnya, apabila x= k membuat ak2 + bk + c = 0, maka k akan disebut seabgai akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.

Untuk menentukan akar-akar, terdapat tiga metode yang dapat kalian pakai.

Antara lain: metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, serta metode rumus abc.

Tetapi metode melengkapkan kuadrat sempurna jarang atau cukup sulit untuk dipakai dalam menentukan akar-akar, sehingga kita tidak akan membahasnya pada artikel ini.

Metode Pemfaktoran

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 diubah menjadi a(x – x1) (x – x2 ) = 0, sehingga akar-akarnya yaitu x1 dan x2 .

Contohnya, apabila kita ingin memfaktorkan ax2 + bx + c = 0, langkah pertama yang dilakukan adalah mencari dua bilangan. Dalam kasus ini akan kita ambil p dan q.

Sehingga, apabila kita jumlahkan akan memperoleh hasil b. Sementara apabila kita kalikan akan menghasilkan ac.

Dengan kata lain, p + q = b dan p . q = a .c

Apabila a = 1, maka bentuk pemfaktorannya yaitu ( x + p )( x + q ) = 0, sehingga akar-akarnya yaitu x + p = 0 ⟺ x = -p atau x + q = 0 ⟺  x = -q

Apabila a ≠ 1, maka bentuk pemfaktorannya yaitu  sehingga akar-akarnya yaitu  atau 

Sebagai contoh:

Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat (a)  x2 – 5x + 6 = 0 dan (b)  6x2 – x – 15 = 0

Jawab:

(a)

a = 1, b = -5 dan c = 6. Carilah dua bilangan, p dan q, sehingga p + q = -5 dan p.q = 6.

Kedua bilangan tersebut ialah p = -3 dan q = -2, sebab -3 + (-2) = -5 dan -3 . -2 = 6

Maka pemfaktorannya ialah (x + (-3))(x + (-2)) = 0 atau (x – 3)(x – 2) = 0, sehingga akar-akarnya yaitu:

x – 3 = 0 ⟺ x1 = 3 atau x – 2 = 0 ⟺ x2 = 2

(b)

Sama halnya dengan yang ada pada (a), cari p dan q, sehingga p + q = -1 dan p.q = a.c = -90

Maka akan diperoleh p = -10 dan q = 9

Maka pemfaktorannya yaitu , sehingga akar-akarnya ialah  atau 

Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat tersebut yaitu  atau 

Metode Rumus ABC

Tidak seluruh bentuk persamaan kuadrat bisa kita faktorkan. Sebagai contoh, kita tidak bisa memfaktorkan bentuk x2 – 3x + 1 = 0  di mana tidak terdapat bilangan bulat p dan juga q yang dapat memenuhi p + q = -3 dan p.q = 1.

Hal ini disebabkan akar-akar persamaan tersebut bukanlah berbentuk bilangan bulat atau bilangan rasional. Namun bilangan irasional.

Untuk menentukan akar-akarnya, kita bisa memakai rumus abc berikut: 

Sehinga, akar-akarnya yaitu  atau .

b2 – 4ac di atas disebut sebagai diskriminan (D).

Sebagai contoh:

Tentukanlah akar-akar dari x2 – 3x + 1 = 0

Jawab:

a = 1, b = -3 dan c = 1, sehingga dengan menerapkannya pada rumus abc di atas, akan kita peroleh 

Berarti akar-akarnya yaitu  dan .

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Pada beberapa contoh di atas, maka kita akan melihat adanya dua buah akar-akarnya. Serta kedua akar tersebut adalah bilangan riil.

Tetapi ada kalanya sebuah persamaan kuadrat hanya memiliki satu akar riil (akar-akarnya kembar), atau bahkan tidak memiliki akar-akar riil.

Nah, untuk mengetahui apakah suatu persamaan kuadrat memiliki dua akar riil, satu akar riil (kembar), atau tidak memiliki akar-akar riil, kita bisa melihat Diskriminan nya (D), yakni:

D = b2 – 4ac apabila D > 0, maka kedua akarnya riil serta berlainan apabila D = 0, maka kedua akar-nya kembar (satu akar riil).

Apabila D < 0,  maka kedua akarnya tidak riil (imajiner).

Sebagai contoh:

Apabila diketahui bahwa 4x2 – 20x + p = 0 memiliki satu akar riil, tentukanlah nilai p.

Jawab:

Sebab hanya memiliki satu akar riil, itu artinya D = 0.

Dengan begitu, D = (-20)2 – 4 .4 . p = 0 ⟺ 400 – 16p = 0.

⟺ 16p = 400 ⟺ p = 25

Sehingga, nilai  yang memenuhi yaitu p = 25

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Apabila x2 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 – bx + c = 0, maka berlaku hubungan:

x2 + x2 = -b/a

x2 . x2 = c/a.

Sebagai contoh:

Apabila x2 dan x2 adalah akar-akar dari 3x2 – 15x + 10 = 0 tentukanlah nilai dari x21 dan x22 .

Jawab:

Persamaan kuadrat di atas tidak dapat difaktorkan, sehingga akar-akarnya berbentuk bilangan irasional, yang mana menjadi sulit bagi kita untuk menghitung nilai x21 + x22 .

Tetapi, kita tidak perlu menghitung satu-satu berapa nilai dari x21 dan x22 , namun kita dapat menghitung langsung nilai dari x21 + x22 .

Dengan cara memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar.

Perhatikan bahwa x21 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

Dari rumus di atas kita peroleh:  dan 

Dengan begitu,  

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Kita bisa menyusun suatu persamaan kuadrat baru dari informasi akar-akarnya. Apabila akar-akarnya adalah p dan q, maka persamaan kuadrat barunya yaitu:

x2 – (p +q)x + pq = 0

Sebagai contoh:

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 5 yaitu x2 – (3+5)x + 3.5 = 0 ⟺ x2 – 8x + 5 = 0

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2.

Sama dengan persamaan kuadrat, tetapi berbentuk sebuah fungsi.

Bentuk umumnya yaitu: f(x) = ax2 – bx + c, dengan a, b, c sebuah bilangan real dan a ≠ 0.

Sebagai contoh: f(x) = 3x2 – 5x + 7

Dengan begitu, f(0) = 3 . 02 + 5 . 0 + 7 = 7, f(0) = 3 . 42 + 5 . 4 + 7 = 75, dan yang lainnya.

Grafik atau Kurva Fungsi Kuadrat

Apabila digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.

Parabola nya terbuka ke atas apabila a > 0 dan terbuka apabila a < 0.

Berikut adalah tahapan untuk menggambarkan grafik atau kurva nya:

Langkah pertama menentukan titik potong y = f(x) = ax2 – bx + c terhadap sumbu x. Yakni nila x saat y = 0.

Dengan begitu, nilai titik potong ini adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

Selanjutnya, menentukan titik potong terhadap sumbu y, nilai y saat x = 0.

Sesudah itu, menentukan sumbu simetri nya. Sumbu simetri adalah garis yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu x bisa dihitung dengan menggunakan rumus  atau 

Terakhir, menentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak adalah titik di mana nilai y = f(x) mencapai nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah.

Koordinat titik puncak parabola yaitu:

Di mana D merupakan diskriminan, yaitu D = b2 – 4ac.

Setelah memperoleh titik-titik di atas, maka kita bisa langsung menggambar grafik fungsi kuadrat dengan cara menghubungkan titik-titik di atas dengan garis yang berbentuk parabola.

Supaya parabolanya terlihat lebih halus (smooth), kita bisa menghitung atau menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva atau fungsi y = f(x).